费马大定理是数学史上最着名的猜想之一，由法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出。该定理断言当整数n＞2时，关于x、y、z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。这个看似简单的问题困扰了数学界长达358年之久，直到1994年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯完成证明。怀尔斯的证明建立在现代数论多个分支的基础上，特别是椭圆曲线和模形式的深刻理论。他证明了所有半稳定椭圆曲线都是模曲线这一特殊情形下的谷山-志村猜想，从而导出费马大定理的成立。这个证明过程长达200页，运用了包括伽罗瓦表示、赫克代数等深奥的数学工具，是20世纪数学最辉煌的成就之一。
庞加莱猜想属于拓扑学领域的核心问题，由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出。该猜想断言：任何一个单连通的、封闭的三维流形都同胚于三维球面。这个表述看似简单，却深刻反映了三维空间的本质特性。俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在2002-2003年间发表了三篇论文，运用理查德·哈密顿提出的里奇流方法，最终证明了这一猜想。佩雷尔曼的创新在于解决了里奇流中的奇点问题，并引入了\"手术\"技术来处理流形在演化过程中可能出现的拓扑变化。这一证明不仅解决了庞加莱猜想，还完整证明了更一般的几何化猜想，为理解三维空间的拓扑结构提供了全新的视角。
四色定理是图论中最着名的问题之一，最早由弗朗西斯·古德里在1852年提出。该定理声称：任何划分在平面上的地图，只需要四种颜色就足以确保相邻区域颜色不同。1976年，肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯首次给出了这个定理的证明。他们的证明方法具有开创性，将问题转化为1936种特殊构型的可约性分析，并首次大规模使用计算机进行辅助证明。虽然这个证明在当时引发了关于计算机在数学证明中角色的争议，但它确实开创了数学研究的新范式。后来在1996年，罗伯逊等人给出了更简化的证明，将需要检查的构型数量减少到633个，但计算机验证仍然是证明过程中不可或缺的部分。
哥德巴赫猜想是数论中最重要的未解决问题之一，由克里斯蒂安·哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出。猜想分为强弱两种形式：强形式认为每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和；弱形式则认为每个大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。2013年，哈拉尔德·赫夫戈特与大卫·普拉特合作，完全证明了弱哥德巴赫猜想。他们的证明建立在维诺格拉多夫关于大奇数表示法的经典工作基础上，通过改进圆法和筛法理论，将可验证的范围扩展到所有大于10^30的奇数，再结合计算机验证较小奇数的情况，最终完成了证明。这个结果被誉为解析数论的重大突破。
黎曼猜想是数学界最重要的未解决问题，由伯恩哈德·黎曼在1859年提出。该猜想涉及黎曼ζ函数的非平凡零点，断言所有这些零点的实部都等于1\/2。虽然完整的黎曼猜想仍未解决，但在特定情况下取得了重要进展。1989年，布莱恩·康瑞证明了至少40%的非平凡零点位于临界线上。2018年，迈克尔·格里菲斯等人将这个比例提高到41.73%。这些部分结果都是通过发展新的解析技巧和引入深刻的数论思想获得的。黎曼猜想的解决将对素数分布理论产生革命性影响，因此被列为克雷数学研究所的七大\"千禧年难题\"之一，悬赏百万美元征求解答。
bSd猜想是算术几何领域的核心问题，由伯奇和斯温纳顿-戴雅在1960年代提出。该猜想建立了椭圆曲线的算术性质与其L函数解析性质之间的深刻联系。1986年，本尼迪克特·格罗斯和唐·扎吉尔对一类特殊的椭圆曲线证明了bSd猜想。他们的工作建立在模形式理论和海格纳点理论的基础上，通过构造特定的heegner点来生成椭圆曲线上的有理点群。2002年，维塔利·库兹涅佐夫等人对秩为1的椭圆曲线给出了更完整的证明。这些突破性工作不仅验证了bSd猜想在某些情况下的正确性，还极大地推动了现代数论的发展。
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本偏微分方程，其解的存在性与光滑性是克雷数学研究所的千禧年难题之一。虽然完整解尚未找到，但在特定条件下取得了重要进展。2000年，皮埃尔-路易·利翁证明了在二维情况下解的整体存在性和唯一性。2014年，陶哲轩对三维情况给出了部分正则性结果。这些证明都运用了现代非线性偏微分方程的深刻理论，特别是能量估计和紧性方法。该问题的完全解决将彻底改变我们对流体动力学的理解，并对工程应用产生重大影响。
霍奇猜想是代数几何中最重要的问题之一，由威廉·霍奇在1950年提出。该猜想涉及代数簇的上同调类与代数闭链之间的关系。虽然一般情况仍未解决，但在低维情形取得了进展。1983年，森重文证明了三维霍奇猜想对某些特殊类型的代数簇成立。2013年，克莱尔·瓦赞等人对具有特殊对称性的四维代数簇给出了部分证明。这些结果都建立在现代代数几何的深刻理论基础上，特别是混合霍奇理论和 motives 理论的发展。霍奇猜想的完全解决将极大地统一代数几何与拓扑学的研究方法。
杨-米尔斯存在性与质量间隙是量子场论中的基本数学问题，也是克雷数学研究所的千禧年难题。该问题要求严格证明杨-米尔斯理论在四维时空中的量子化存在，且存在质量间隙。2002年，阿图尔·贾菲和爱德华·威滕在特定对称群下给出了部分证明。2013年，马丁·海尔等人对SU(2)规范群在特定情况下证明了质量间隙的存在。这些工作运用了构造性量子场论和随机偏微分方程等现代数学物理方法。该问题的完全解决将奠定量子场论严格的数学基础，对理论物理学产生深远影响。
p vs Np问题是理论计算机科学的核心问题，也是克雷数学研究所的千禧年难题。该问题询问是否所有可以在多项式时间内验证解的问题，也都能在多项式时间内求解。虽然尚未完全解决，但在特定情况下取得了进展。2002年，维诺德·德奥拉里卡尔证明了某些代数几何方法无法分离p和Np类。2018年，陈立杰等人对某些受限的计算模型证明了p≠Np。这些结果都运用了电路复杂性理论和代数化方法等前沿工具。该问题的解决将对密码学、算法设计等领域产生革命性影响。